Matematikk / Trigonometri / 01. Radianer

(Notat: I denne serien tegner jeg nesten alt for hånd, og jeg prøver å tegne noenlunde nøyaktig, men bryr meg ikke om små unøyaktigheter. Dette er av en helt spesifik grunn: når man jobber med trigonometri — spesielt når man løser trigonometriske likninger — så lønner det seg å tegne en grov skisse, og da betyr det ikke så mye om tegningen er helt nøyaktig, men bare at man får et visst overblikk over løsningsmengden.)

(Notat: I denne serien bruker jeg konsekvent radianer, og derfor har jeg også valgt å begynne med en grundig gjennomgang av dette vinkelmålet. Jeg oppgir ofte vinkler også i grader for å tilvenne leseren radianer. Leseren bør gjøre seg kjent med hvordan han/hun setter opp kalkulatoren sin til å bruke radianer. Dette varierer litt fra kalkulator til kalkulator.)

Radianer, også kalt absolutt vinkelmål, er en måte å oppgi vinkler på som ikke er avhengig av hvordan man deler opp en sirkel. F. eks. så er de fleste av oss vant med grader, hvor man deler en sirkel inn i \(360\) biter, men dette er bare én måte å gjøre det på. Man kan også dele opp en sirkel i \(400\) biter (kalt gon på norsk og gradian på engelsk), \(256\) (på engelsk kalt brad, eller binary degree), og alt i mellom (her er det bare fantasien som setter grenser).

For å unngå en slik vilkårlig inndeling av en sirkel ble radianer innført som et absolutt vinkelmål, i motsetning til de andre relative vinkelmålene (altså, relative i forhold til hvor grovt/fint man vil dele inn sirkelen). En radian er et forholdstall som forteller hvor lang en sirkelbue er i forhold til radien i en sirkelsektor.

La oss se på et par eksempler:

(N.B.: Man pleier å oppgi radianer uten noen enhet. Dette kan være litt forvirrende i starten, men er noe man blir vant med etter hvert. Noen liker å skrive \(\text{rad}\) etter tallet, som f. eks. \(114^\circ \approx 2 \text{ rad}\), men i denne serien kommer jeg til å skrive det uten enhet konsekvent, altså \(114^\circ \approx 2\).)

Med utgangspunkt i at \(180^\circ = \pi\) kan vi utlede noen andre kjente vinkler:

$$ \begin{align} 360^\circ &= 2 \cdot 180^\circ = 2\pi \\ 90^\circ &= \frac12 \cdot 180^\circ = \frac12 \pi \\ 60^\circ &= \frac13 \cdot 180^\circ = \frac13 \pi \\ 45^\circ &= \frac14 \cdot 180^\circ = \frac14 \pi \\ 30^\circ &= \frac16 \cdot 180^\circ = \frac16 \pi \end{align} $$

Vi er nå klare til å lage oss en generell formel for å konvertere mellom grader og radianer:

Sagt med ord, så sier definisjonen over at en vinkel \(v\) målt i radianer forholder seg til \(\pi\) på samme måte som \(n^\circ\) forholder seg til \(180^\circ\).