Matematikk / Trigonometri / 02. Sinus og cosinus

Sinus og cosinus er funksjoner som tar inn en vinkel (enten målt i grader, radianer, eller gradianer; se notat under om kalkulatorbruk) og gir et tall mellom \(-1\) og \(1\), inklusivt. (Notat: Så lenge vi jobber med vinkler mellom \(0\) og \(\frac12 \pi\), altså mellom \(0^\circ\) og \(90^\circ\), så vil disse funksjonene gi verdier mellom \(0\) og \(1\); det er først når vi kommer til enhetssirkelen at verdiene vil variere mellom \(-1\) og \(1\).) Hva disse tallene betyr, skal vi se litt på her. Vi har også en tredje trigonometrisk funksjon, tangens, som er litt annerledes enn sinus og cosinus, som vi skal se på i neste kapittel.

Når vi bruker sinus og cosinus pleier vi å forkorte dem til \(\sin v\) og \(\cos v\), eventuelt med parenteser, \(\sin(v)\) og \(\cos(v)\), der \(v\) er en vinkel. Vi leser dette som "sinus til vinkel \(v\)" og "cosinus til vinkel \(v\)."

Definisjon 1

I en rettvinklet trekant med to kateter og en hypotenus, har vi at

$$ \begin{align} \sin(v) &= \frac{\text{lengden av motstående katet til } v}{\text{hypotenus}} = \frac{\text{mot}}{\text{hyp}} \\ \cos(v) &= \frac{\text{lengden av hosliggende katet til } v}{\text{hypotenus}} = \frac{\text{hos}}{\text{hyp}} \end{align} $$

Legg merke til at siden hypotenus alltid er den lengste siden i en rettvinklet trekant, så kan ikke forholdet mellom f. eks. motstående katet, og hypotenus, være større enn \(1\). Hvis vi har en vinkel som er veldig nær \(\frac12 \pi\) (altså \(90^\circ\)), så vil sinus til den vinkelen være veldig nær \(1\) (eks.: \(\sin\left(\frac{89}{180}\pi\right) = \sin(89^\circ) \approx 0,9998\)). Dette er fordi den motstående kateten vil være bare litt mindre enn hypotenusen, og dermed blir forholdet mellom den motstående kateten og hypotenusen nesten lik \(1\). Tilsvarende er det også med en veldig liten vinkel, bare at nå vil sinus til vinkelen være veldig nær \(0\) (eks.: \(\sin\left(\frac{1}{180}\pi\right) = \sin(1^\circ) \approx 0,0175\)). Akkurat det motsatte vil skje med cosinus. (Prøv!)

Vi bruker ofte sinus og cosinus til å finne sider i rettvinklede trekanter når vi har for lite informasjon til å kunne bruke Pythagoras' Setning. Vi tar et eksempel:

Eksempel 1

Oppgave: I en rettvinklet trekant er vinkel \(v \approx 0,6435\) og lengden på hypotenusen er \(5\) (se figur). Hvor lang er motstående katet til vinkel \(v\)?

Løsning:

Et tips i slike oppgaver er å spørre seg selv hvilken informasjon man har, og dermed hvilken trigonometrisk funksjon man skal bruke. I dette tilfellet er hypotenus og motstående katet involvert, altså skal vi bruke sinus, og så løse mhp. motstående katet (her forkortet til "mot"): $$ \begin{align} \sin(v) &= \frac{\text{mot}}{\text{hyp}} \\ \text{mot} &= \sin(v) \cdot \text{hyp} = \sin(0,6435) \cdot 5 \approx 3 \end{align} $$

(Tips: Hvis du fikk rundt \(0,056\) som svar, så er kalkulatoren din satt til grader, og du må endre til radianer.)

Vi tar ett eksempel til, denne gangen med cosinus, hvor vi skal finne hypotenusen:

Eksempel 2

Oppgave: I en rettvinklet trekant er vinkel \(v = \frac14 \pi\) og lengden på hosliggende til katet til vinkel \(v\) er \(1\) (se figur). Hvor lang er hypotenusen?

Løsning:

Hypotenus og hosliggende katet er involvert, altså må vi bruke cosinus: $$ \begin{align} \cos(v) &= \frac{\text{hos}}{\text{hyp}} \\ \text{hyp} \cdot \cos(v) &= \text{hos} \\ \text{hyp} &= \frac{\text{hos}}{\cos(v)} = \frac{1}{\cos\left(\frac14 \pi\right)} = \sqrt2 \end{align} $$

Alternativ løsning:

Vi kunne her også ha brukt litt resonnering, og Pythagoras: Siden \(\frac14 \pi\) radianer er det samme som \(45^\circ\), og det ene katetet er \(1\), så må det andre katetet også være \(1\), og vi kan bruke Pythagoras' Setning til å finne lengden av hypotenusen:

$$ \begin{align} \text{hyp}^2 &= \text{kat}_1^2 + \text{kat}_2^2 \\ \text{hyp} &= \sqrt{\text{kat}_1^2 + \text{kat}_2^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt2 \end{align} $$