Matematikk / Trigonometri / 04. Enhetssirkelen
Vi skal nå utvide vår definisjon av sinus, cosinus, og tangens til å gjelde vilkårlige vinkler, ikke begrenset til vinkler mellom \(0\) og \(\frac12 \pi\), ved hjelp av enhetssirkelen. Idéen bak enhetssirkelen er å begynne med en vilkårlig rettvinklet trekant, og så redusere hypotenusen til lengde \(1\):
Vi bruker nå formlikhet til å vise at forholdet mellom motstående katet (\(\text{mot}\)) og hypotenus (\(\text{hyp}\)) må være lik forholdet mellom \(y\) og \(1\), og dette igjen er definisjonen på sinus. Tilsvarende for cosinus. Vi setter det opp systematisk:
$$ \begin{gather} \sin(v) = \frac{\text{mot}}{\text{hyp}} = \frac{y}{1} = y \\ \cos(v) = \frac{\text{hos}}{\text{hyp}} = \frac{x}{1} = x \end{gather} $$Vi er nå klare til å beskrive enhetssirkelen.
Definisjon 1
La en sirkel ha sentrum i origo i et koordinatsystem og radius lik \(1\). Da har vi
Siden sinus til en vinkel \(v\) er definert som forholdet mellom motstående katet og hypotenus (som er \(1\)), kan vi lese av sinus-verdien på \(y\)-aksen. Siden cosinus til en vinkel \(v\) er definert som forholdet mellom hosliggende katet og hypotenus (som er \(1\)), kan vi lese av cosinus-verdien på \(x\)-aksen.
Når vinkel \(v\) starter i den positive delen av \(x\)-aksen og har utgangspunkt i origo (som på figuren), så sier vi at vinkelen er i grunnstilling. Når vi kommer til omvendte trigonometriske funksjoner er dette viktig å huske på, da kalkulatorer alltid gir resultat basert på nærmeste vinkel i forhold til grunnstillingen.
Her har vi bare definert hva enhetssirkelen er, men vi skal lære å bruke den praktisk når vi kommer til trigonometriske likninger.