Matematikk / Trigonometri / 05. Eksakte trigonometriske verdier

(Notat: I dette kapittelet har jeg valgt å bruke grader i stedet for radianer, for enkelhets skyld. I tabellen på slutten har jeg lagt ved radiantallet også.)

Vi skal her utlede noen konkrete trigonometriske verdier, altså verdier man får fra sinus, cosinus, og tangens til utvalgte vinkler. Vi skal ta for oss \(0^\circ\), \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\), og \(90^\circ\). (Notat: De fleste lærebøker har en tabell som viser eksakte verdier for et helt omløp, altså fra \(0^\circ\) til \(360^\circ\), men vi nøyer oss med mellom \(0^\circ\) og \(90^\circ\); resten kan utledes ved hjelp av disse og enhetssirkelen.)

\(0^\circ\) og \(90^\circ\)

Vi begynner med \(0^\circ\) og \(90^\circ\). Disse kan vi lese av direkte fra enhetssirkelen:

Hvis vi tenker oss at vinkel \(v\) går mot \(0^\circ\), så vil lengden av motstående katet gå mot \(0\), og siden sinus-verdien leses av på \(y\)-aksen ser vi at \(\sin(0^\circ) = 0\). Lengden av hosliggende katet vil da gå mot å bli like lang som hypotenusen, \(1\), og \(\cos(0^\circ) = 1\). For tangens har vi \(\tan(0^\circ) = \frac{\sin(0^\circ)}{\cos(0^\circ)} = \frac01 = 0\).

For \(90^\circ\) tenker vi på tilsvarende vis. Hvis vi tenker oss at vinkel \(v\) går mot \(90^\circ\), så vil lengden av motstående katet gå mot \(1\), og vi ser at \(\sin(90^\circ) = 1\). Lengden av hosliggende katet vil da gå mot \(0\), og \(\cos(90^\circ) = 0\). For tangens har vi \(\tan(90^\circ) = \frac{\sin(90^\circ)}{\cos(90^\circ)} = \frac10\) som er udefinert. (Prøv gjerne selv på kalkulator. Husk at hvis du bruker radianer, så er \(90^\circ = \frac12 \pi\).)

\(45^\circ\)

For å utlede hva de trigonometriske funksjonene gir for \(45^\circ\), tegner vi opp en rettvinklet trekant der de to andre vinklene begge er \(45^\circ\). (Husk at summen av vinklene i en trekant er \(180^\circ\).) Vi setter lengden til ett av katetene til å være \(1\), og da må nødvendigvis lengden av den andre også være \(1\). Vi bruker Pythagoras' Setning til å finne lengden av hypotenusen:

$$ \begin{align} \text{hyp}^2 &= \text{kat}_1^2 + \text{kat}_2^2 \\ \text{hyp} &= \sqrt{\text{kat}_1^2 + \text{kat}_2^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt2 \end{align} $$

Så bruker vi simpelthen definisjonene av sinus, cosinus, og tangens til å sette inn verdiene:

$$ \begin{align} \sin(45^\circ) &= \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2} \\ \cos(45^\circ) &= \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2} \\ \tan(45^\circ) &= \frac11 = 1 \end{align} $$

\(30^\circ\) og \(60^\circ\)

Å utlede eksakte verdier for \(30^\circ\) og \(60^\circ\) er litt mer jobb. Vi begynner med en likesidet trekant, altså en trekant der alle sidene er like lange. I en slik trekant er alle vinklene nødvendigvis \(60^\circ\). Vi setter alle sidene lik \(2\) og trekker en normal ned på grunnflaten fra det øverste hjørnet, slik at vi deler trekanten i to like store deler. Da vil den ene vinkelen være halvert til \(30^\circ\) og den ene siden vil ha lengde \(1 + 1\) (se figur under).

Vi forkaster den venstre delen, og roterer den høyre delen \(90^\circ\) mot klokka. Så bruker vi Pythagoras' Setning til å finne lengden av den siste kateten:

$$ \begin{align} x^2 + \text{kat}^2 &= \text{hyp}^2 \\ x^2 &= \text{hyp}^2 - \text{kat}^2 \\ x &= \sqrt{\text{hyp}^2 - \text{kat}^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt3 \end{align} $$

Vi kan nå igjen bruke definisjonene av sinus, cosinus, og tangens til å finne de eksakte verdiene. Vi begynner med \(30^\circ\):

$$ \begin{align} \sin(30^\circ) &= \frac12 \\ \cos(30^\circ) &= \frac{\sqrt3}{2} \\ \tan(30^\circ) &= \frac{1}{\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{3} \end{align} $$

Så gjør vi det samme for \(60^\circ\). Husk at begrepene motstående og hosliggende må ses ut fra vinkelen, slik at nå er lengden til motstående katet av vinkel \(60^\circ\) ikke \(1\), men \(\sqrt3\). $$ \begin{align} \sin(60^\circ) &= \frac{\sqrt3}{2} \\ \cos(60^\circ) &= \frac12 \\ \tan(60^\circ) &= \frac{\sqrt3}{1} = \sqrt3 \end{align} $$

Oversiktstabell

Tabell over eksakte trigonometriske verdier
Vinkel \(v\) (grader)	\(0^\circ\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)	\(90^\circ\)
Vinkel \(v\) (radianer)	\(0\)	\(\frac16 \pi\)	\(\frac14 \pi\)	\(\frac13 \pi\)	\(\frac12 \pi\)
\(\sin(v)\)	\(0\)	\(\frac12\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	\(1\)
\(\cos(v)\)	\(1\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac12\)	\(0\)
\(\tan(v)\)	\(0\)	\(\frac{\sqrt3}{3}\)	\(1\)	\(\sqrt3\)	\(\text{Ikke def.}\)