Matematikk / Trigonometri / 06. Trigonometriske funksjoner

(Notat: Fra nå og utover bruker jeg bokstaven \(x\) som variabelnavn på vinkler i stedet for bokstaven \(v\). Dette fordi vi nå ser på funksjoner, som konvensjonelt skrives \(f(x)\), men også fordi vi senere skal se på trigonometriske likninger hvor det også er vanlig å bruke bokstaven \(x\).)

Vi skal nå se på hvordan vi kan lage grafer av de tre trigonometriske funksjonene vi har sett på (sinus, cosinus, og tangens).

Grafen til sinus

Vi begynner med sinus. For å tegne grafen til \(\sin(x)\) er det nyttig å ha noen punkter som referanse. Disse punktene er toppunktene, bunnpunktene, og nullpunktene, altså punkter hvor funksjonsverdien er null. \(\sin(x)\) varierer mellom \(-1\) og \(1\), og dermed er toppunktene i \(y = 1\) og bunnpunktene i \(y = -1\). Det første toppunktet til \(\sin(x)\) er når \(x\) er \(\frac12 \pi\) (tenk enhetssirkelen). Deretter har vi toppunkter for hvert nye omløp, altså er alle toppunktene i \(x = \frac12 \pi + k \cdot 2\pi\), hvor \(k\) er et heltall.

Med samme logikk har vi bunnpunktene når \(x = \frac32 \pi + k \cdot 2\pi\).

Det første nullpunktet har vi når \(x = 0\), og det andre har vi etter et halvt omløp, altså når \(x = \pi\). Dermed har vi alle nullpunktene for hvert halve omløp, altså når \(x = k \cdot \pi\). I figuren under har jeg markert alle kritiske punkter i et omløp (også kalt periode):

For å skissere grafen kan vi nå tegne inn punktene mellom de kritiske puktene (så godt det lar seg gjøre for hånd):

Dette mønsteret gjentar seg på den negative delen av \(x\)-aksen:

Grafen til cosinus

For cosinus er tankegangen tilsvarende. Det første toppunktet til \(\cos(x)\) er når \(x\) er \(0\). Deretter har vi toppunkter for hvert nye omløp, altså er alle toppunktene i \(x = 0 + k \cdot 2\pi = k \cdot 2\pi\), hvor \(k\) er et heltall. Bunnpunktene finner vi i \(x = \pi + k \cdot 2\pi\). (Igjen, tenk enhetssirkelen. Jeg anbefaler å kladde litt for deg selv for å overbevise deg selv om dette.)

Hele grafen til cosinus blir da seende slik ut:

Grafen til tangens

For å tegne grafen til \(\tan(x)\) kan vi først finne nullpunktene. Vi husker på at tangens også kan defineres som \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\), og en brøk er null når teller er null, altså når \(\sin(x) = 0\). Så husker vi at \(\sin(x) = 0\) når \(x = k \cdot \pi\), og vi markerer nullpunktene:

Vi har vertikale asymptoter når teller er ulik null samtidig som nevner er null, altså når \(x = \frac12 \pi + k \cdot \pi\), og vi markerer dem:

Nå skal vi se på hva som skjer når \(x\) nærmer \(\frac12 \pi\), eller \(90^\circ\). Sinus-verdien vil nærme seg \(+1\) mens Cosinus-verdien vil nærme seg \(0\), altså vil \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\) nærme seg \(+\infty\). (Kladd gjerne enhetssirkelen for deg selv og se.) Rett etter \(\frac12 \pi\) vil sinus-verdien fremdeles være nær \(+1\), mens cosinus-verdien nå vil bli negativ, altså \(\tan(x)\) vil nærme seg \(-\infty\), og vi har dette mønsteret: