Matematikk / Trigonometri / 07. Omvendte trigonometriske funksjoner

Så langt har vi sett på de tre trigonometriske funksjonene sinus (\(\sin\)), cosinus (\(\cos\)), og tangens (\(\tan\)). Disse funksjonene tar inn en vinkel, og spytter ut et forholdstall. De omvendte trigonometriske funksjoner gjør, som navnene tilsier, det motsatte: De tar inn et forholdstall, og spytter ut en vinkel. Altså kan vi bruke dem til å finne vinkler. (Dette blir spesielt nyttig når vi kommer til trigonometriske likninger.)

Disse funksonene kalles også arcus sinus, arcus cosinus, og arcus tangens (fra latinsk bue), og man ser ofte to notasjoner for disse: \(\arcsin(x)\), \(\arccos(x)\), og \(\arctan(x)\), eller \(\sin^{-1}(x)\), \(\cos^{-1}(x)\), og \(\tan^{-1}(x)\). I denne serien bruker jeg den sistnevnte notasjonen. Vi tar et eksempel:

Eksempel 1

Oppgave: I en rettvinklet trekant kjenner vi til lengden på hypotenusen, \(4,8\), og en av katetene, \(3,3\) (se figur). Hva er vinkel \(x\)?

Løsning:

Her kan vi sette opp en likning, og vi må bruke sinus siden denne oppgaven involverer motstående katet og hypotenus.

$$ \begin{align} \sin x &= \frac{3,3}{4,8} \\ \cancel{\sin^{-1}}(\cancel{\sin} x) &= \sin^{-1} (0,6875) \\ x &\approx 43,43^\circ \approx 0,76 \end{align} $$

En ting som er viktig å være klar over er at en kalkulator vil gi den vinkelen som ligger nærmest i forhold til grunnstillingen. La oss som et eksempel ta for oss \(45^\circ\), eller \(\frac14 \pi\) radianer. \(\sin\left(\frac14 \pi\right) = \frac{\sqrt2}{2} \approx 0,7\), og vi markerer dette på \(y\)-aksen (siden dette er sinus) på enhetssirkelen:

Når vi nå tar invers sinus på kalkulatoren får vi \(\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt2}{2}\right) = \frac14 \pi\), og dette er vinkelen i grunnstilling, altså når vinkelen har utgangspunkt i origo og man går mot klokka fra \(x\)-aksen. Denne vinkelen har jeg kalt \(v_1\) i figuren under. Men vi har enda en vinkel (i hvert fall i første omløp), nemlig \(v_2 = \pi - \frac14 \pi = \frac34 \pi\).

Det samme prinsippet gjelder også for invers cosinus, bare at vi må gå fra \(2\pi\) og bakover (se figur):

Tangens er litt mer spesiell. Vi kan ikke direkte lese av på aksene hva tangens til en vinkel er, men vi kan studere fortegnet til tangens av forskjellige vinkler for å finne alle vinklene i første omløp. Husk at sinus og cosinus varierer mellom \(-1\) og \(1\), og at man kan definere tangens som sinus delt på cosinus. Derfor vil tangens-verdiene til alle vinkler i 1. kvadrant være positive (fordi både sinus og cosinus til disse vinklene er positive), i 2. kvadrant negative (fordi sinus-verdien til disse vinklene er positiv, mens cosinus-verdien er negativ), i 3. kvadrant positive (fordi både sinus og cosinus er negative), og i 4. kvadrant negative. (Se figur.)

La oss holde oss til \(\frac14 \pi\). Siden både sinus og cosinus til denne vinkelen er det samme, og siden man kan definere tangens som sinus delt på cosinus, får vi at \(\tan\left(\frac14 \pi\right) = 1\). Hvis vi tar invers tangens på denne vinkelen, får vi \(\tan^{-1}(1) = \frac14 \pi\) (naturlig nok), og vi markerer igjen denne vinkelen på enhetssirkelen, og noterer oss at siden \(1\) er positiv, så vil den andre løsningen i dette eksempelet ligge i den andre positive kvadranten, altså i 3. kvadrant. (Se figur.)

Generelt for invers tangens har vi at i første omløp så har invers tangens to løsninger: \(v_1 = \text{vinkel i grunnstilling / svar fra kalkulator}\) og \(v_2 = v_1 + \pi\).