Matematikk / Trigonometri / 08. Trigonometriske likninger
Trigonometriske likninger er likninger som inneholder trigonometriske funksjoner. De løses som vanlige likninger, og det er alltid lurt å tegne enhetssirkelen, gjerne bare i grove trekk, for å være sikker på at man har funnet alle løsningene.
Typisk for slike oppgaver er at det oppgis om man skal finne alle løsningene, eller bare løsninger innenfor et gitt intervall (f. eks. i første omløp, i to omløp, mellom \(\pi\) og \(2\pi\), \(x \in \left[\frac14 \pi, \frac54 \pi\right]\), etc.). Litt om notasjon: Hvis vi har andregradsuttrykk som involverer trigonometriske funksjoner, skriver vi "sinus av x, alt opphøyd i andre" som \(\sin^2 x\), og ikke \((\sin x)^2\). Dette er delvis pga. leselighet, men også for å unngå forvirring med \(\sin(x^2)\).
Vi tar noen eksempler:
Eksempel 1
Oppgave: Finn alle løsninger i første omløp.
$$ 2 \sin x + 2 = 1 $$Løsning: Vi begynner med å legge merke til at "første omløp" er det samme som \(x \in [0, 2\pi]\). Vi må først løse likningen som en vanlig likning, til vi har et uttrykk som ser ut som \(\sin x = \text{noe}\).
$$ \begin{align} 2 \sin x + 2 &= 1 \\ 2 \sin x &= 1 - 2 \\ \sin x &= -\frac12 \end{align} $$Når vi nå har \(\sin x = -\frac12\), kan vi ta invers sinus på begge sider for å få \(x\) alene:
$$ \begin{align} \cancel{\sin^{-1}}(\cancel{\sin} x) &= \sin^{-1} \left(-\frac12\right) \\ x &= -\frac16 \pi \end{align} $$Legg merke til at \(-\frac16 \pi\) ikke ligger innenfor definisjonsmengden til \(x\). Når vi løser trigonometriske likninger bør vi alltid tegne enhetssirkel for å finne alle løsninger. Husk også på at en kalkulator gir deg den nærmeste vinkelen, og denne kommer frem av en tegning:
Som vi ser av tegningen så er løsningene \(v_1 = \pi + \frac16 \pi = \frac66 \pi + \frac16 \pi = \frac76 \pi\) og \(v_2 = 2\pi - \frac16 \pi = \frac{12}{6}\pi - \frac16 \pi = \frac{11}{6}\pi\). Eller skrevet som en løsningsmengde:
$$ L = \left\{\frac76 \pi, \frac{11}{6}\pi\right\} $$Eksempel 2
Oppgave: Finn alle løsninger i tredje kvadrant.
$$ 3\tan x - 3 = 0 $$Løsning: Først får vi alle ledd som inneholder \(x\) på én side av likhetstegnet, som vanlig:
$$ \begin{align} 3\tan x - 3 &= 0 \\ 3\tan x &= 3 \\ \tan x &= 1 \\ x &= \frac14 \pi \end{align} $$Så tegner vi opp denne vinkelen i enhetssirkelen:
Oppgaven spør om vinkler i 3. kvadrant, altså er ikke dette en løsning, men hvis vi legger på \(\pi\) radianer, havner vi i 3. kvadrant. Altså er riktig svar \(\frac14 \pi + \pi = \frac14 \pi + \frac44 \pi = \frac54 \pi\).
Skrevet som en løsningsmengde:
$$ L = \left\{\frac54 \pi\right\} $$Eksempel 3
Oppgave: Finn alle løsningene når \(x \in [0, 2\pi]\).
$$ 2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0 $$Løsning: Her bruker vi andregradsformelen med \(a = 2\), \(b = 1\), og \(c = -1\). Minner om andregradsformelen, som sier at hvis vi har et uttrykk på formen \(ax^2 + bx + c = 0\) så kan vi løse mhp. \(x\):
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$Her har vi \(\sin x\) i stedet for bare \(x\), men det fungerer like bra:
$$ \begin{align} 2 \sin^2 x + \sin x - 1 &= 0 \\ \sin x &= \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} \\ &= \frac{-1 \pm \sqrt9}{4} \\ &= \frac{-1 \pm 3}{4} \end{align} $$Vi har altså at \(\sin x = \frac{-1 + 3}{4} = \frac24 = \frac12\) og \(\sin x = \frac{-1 - 3}{4} = -\frac44 = -1\), og vi markerer disse to sinus-verdiene på enhetssirkelen, sammen med de vinklene vi vet vi får i første omløp, markert med \(v_1\), \(v_2\), og \(v_3\):
Legg merke til at siden \(\sin x = -1\), så får vi bare én vinkel tilhørende denne verdien.
Ved hjelp av kalkulator og tegning kan vi nå finne alle løsningene. Vi tar invers sinus på den første løsningen, og får \(\sin^{-1}\left(\frac12\right) = \frac16 \pi\), som vi ser av tegningen er \(v_1\) fordi kalkulatoren alltid gir den nærmeste vinkelen i forhold til grunnstilling. \(v_2\) er da \(\pi - v_1 = \frac66 \pi - \frac16 \pi = \frac56 \pi\).
Vi tar invers sinus på den andre løsningen, og får \(\sin^{-1}(-1) = -\frac12 \pi\), som vi ser fra tegningen er den vinkelen som er markert "kalkulator!" Dette er ikke en løsning, fordi oppgaven ber om løsninger i første omløp, altså må vi legge til et helt omløp, dvs. \(2\pi\), for å finne den riktige løsningen: \(v_3 = -\frac12 \pi + 2\pi = -\frac12 \pi + \frac42 \pi = \frac32 \pi\). Skrevet som en løsningsmengde:
$$ L = \left\{\frac16 \pi, \frac56 \pi, \frac32 \pi\right\} $$